<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 9 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          6 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2011 11 edio 
          Editora Scipione. 

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627275-0

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
          intermedirio ala "B"
          Freguesia do 
          CEP 02909-900 --
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<P>
                                I
 Sumrio

Quarta Parte

Captulo 6 -- Funes
 1- Ideia de funo :::::::: 435
 2- Funo constante. 
  Funes de 1 e 
  2 graus ::::::::::::::::: 460
 3- Grfico de uma 
  funo :::::::::::::::::::: 483
 4- Grfico da funo 
  constante e da funo de 
  1 grau :::::::::::::::::: 496
 5- Grfico da funo de 
  2 grau :::::::::::::::::: 508
 Respeite o seu nmero: ao 
  sobre funes ::::::::::::: 522
 6- Mximos e mnimos :::::: 524

<171>
<P>
<tmat. medida c. 9>
<T+435>
Captulo 6 -- Funes

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como as atividades propostas, so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

<172>
1- Ideia de funo

  Imagine a seguinte situao: na aula de Matemtica, o professor aponta para o aluno e diz um nmero. Esse aluno deve dizer o nmero que, somado ao do professor, d 10. Por exemplo, se o professor diz "oito", o aluno deve responder "dois".
  O professor disse estes nmeros: 4, 10, 0, 12, -5, 2,8 e -2,8. Com eles e com os nmeros que os alunos apresentaram, podemos fazer uma tabela:
<P>
<F->
!::::::::::::::::::::::
l nmero do _ nmero do _
l professor _ aluno     _
r:::::::::::w:::::::::::w
l  4       _  6       _
l  10      _  0       _
l  0       _  10      _
l  12      _ -2       _
l -5       _  15      _
l  2,8     _  7,2     _
l -2,8     _  12,8    _
h:::::::::::j:::::::::::j
<F+>

  Essa situao tambm pode ser representada por meio de um diagrama:

_`[{diagrama adaptado_`]

<F->
   A       B
   4   :>  6
   10  :>  0
   0   :>  10
   12  :> -2
  -5   :>  15
   2,8 :>  7,2
  -2,8 :>  12,8
<F+>

<173>
  O diagrama apresenta no conjunto A os nmeros ditos pelo professor e, no conjunto B, as respostas dos alunos. Ele mostra como os nmeros de A e de B se associam. Dessa forma, ele representa uma funo. O conjunto A  o domnio da funo.

<R+>
_`[{o menino fala para o amigo: "Cada nmero que o professor diz admite uma e s uma resposta."_`]
<R->

  Outra maneira de representar uma funo  descrever a lei de associao entre os nmeros de A e de B. No caso do professor, a descrio j foi feita em portugus. Vamos descrev-la agora em linguagem algbrica.
  Chamamos de *x* os elementos de A e de *y* os de B. Para cada valor de *x* dito pelo professor, o aluno pode encontrar seu valor de *y* efetuando 10-x. Por exemplo, se x=4, temos y=10-4=6.
<P>
 Portanto, a lei de associao  y=10-x.
  Nessa lei de associao, dizemos que *y*  dado em funo de *x* ou que a varivel *y* depende da varivel *x*. Os valores de *x* formam o domnio da funo.
  A funo que mostramos produz pares ordenados `(x, y`). Por exemplo: (4, 6), (10, 0), 
 (0, 10) e outros que podem ser vistos na tabela anterior.

Mais exemplos de funes

<R+>
1. Voc sabe que a razo entre o comprimento da circunferncia e seu dimetro  sempre ^p e deve lembrar que ^p vale aproximadamente 3,14. Vemos ento que o comprimento de uma circunferncia  funo do comprimento de seu dimetro. Nessa funo, se C  a varivel que indica o comprimento da circunferncia e *d* a que indica o comprimento do dimetro, a lei de associao  C=^pd.
<174>
 2. Observe a figura _`[no adap-
  tada_`]. O comprimento *l* da mola varia dependendo da massa *m* pendurada em sua extremidade. A lei de associao entre o comprimento e a massa no caso da mola  do tipo l=k"m, sendo *k* um nmero constante que depende da mola. Por exemplo, fazendo medidas com certa mola, obtivemos estes valores:

<F->
   l cm _ m g 
  ::::::::w:::::::
    1    _ 20   
    1,2  _ 24   
    2,3  _ 46    
    0,25 _ 5    
<F+>

  Calculemos o valor de *k*:
  Como l=k"m, temos: k=lm=
  =120=1,224=2,346=
  =0,255.
  Efetuando qualquer uma dessas divises, obtemos 0,05.
  Portanto, a lei de associao para essa mola  l=0,05 m.
  Nesse tipo de lei de associao, costuma-se dizer que o comprimento *l*  diretamente proporcional  massa *m*.
 3. Considere a funo dada pela lei de associao y=?x+3*x. O domnio dessa funo, ou seja, os valores que a varivel *x* pode assumir so os nmeros reais exceto o zero, que anula o denominador. Portanto, o domnio  o conjunto dos nmeros reais sem o zero, indicado 
  por _r*.

_`[{a menina diz: "_r*  o smbolo usado para representar os nmeros reais exceto o zero."_`]

4. Na figura, temos um quadrado com lados de 5 cm; o segmento ^c?{x{y* pode se movimentar, mas sempre paralelamente a ^c?{c{d*. Nesse movimento, o ponto X percorre todo o lado ^c?{c{f*, exceto as suas extremidades.
<P>
_`[{o smbolo ** representa a parte colorida_`]

<F->
    F   5 cm  E
     !:::::::::::
     l           _
     l           _
     l           _
  X r:::::::::::wY
     l_
     l_
     h:::::::::::j
    C          D
<F+>

  A rea da parte colorida  funo da medida do segmento ^c?{c{x*.
<175>
  Vamos calcular as reas dos 
  retngulos coloridos nos casos em que o segmento ^c?{c{x* mede 1 cm, 2 cm, 3 cm e 4 cm.
<P>
_`[{o smbolo ** representa a parte colorida_`]

<F->
  rea=5"1
  rea=5 cm2

        !::::::::::
        l          _
        l          _
        l          _ 
        l          _
        r::::::::::w
  1 cm l_
        h::::::::::j
           5 cm

  rea=5"2
  rea=10 cm2

        !::::::::::
        l          _
        l          _
        l          _
        r::::::::::w 
  2 cm l_
        l_
        h::::::::::j
           5 cm
<P>
  rea=5"3
  rea=15 cm2

        !::::::::::
        l          _
        l          _
        r::::::::::w
        l_ 
  3 cm l_
        l_
        h::::::::::j
           5 cm

  rea=5"4
  rea=20 cm2

        !::::::::::
        l          _
        r::::::::::w
        l_
        l_ 
  4 cm l_
        l_
        h::::::::::j
           5 cm
<F+>
<P>
  Colocando esses dados em uma tabela, temos:

<F->
    x _  y    
   :::w::::
   1 _ 5   
   2 _ 10  
   3 _ 15  
   4 _ 20  
<F+>

  *x*  a medida de ^c?{c{x*, 
  em cm;
  *y*  a rea da parte assinalada, em cm2.
  Olhando a tabela, percebemos que a lei de associao da funo  y=5x.
  Nesse caso, primeiro fizemos a tabela e ento vimos que y=5x, mas poderamos ter chegado diretamente a essa lei de associao, sem passar pela tabela. Veja:
<P>
_`[{o smbolo ** representa a parte colorida_`]

<F->
      !::::::::::
      l          _
      l          _
      l          _
      r::::::::::w 
  *x* l_
      l_
      h::::::::::j
           5
<F+>

  A rea *y* do retngulo  o comprimento multiplicado pela largura: y=5x.
  Usamos apenas valores inteiros de *x*. No entanto, nesse caso,  fcil perceber que *x* pode ser qualquer nmero real entre 0 e 5. Ou seja, o domnio da funo  A=~lx,_r,0x5_, isto , o conjunto dos nmeros reais maiores que 0 e menores que 5.
<R->
<P>
Importante

  Apresentamos leis de associao como C=^pd, l=k"m, y=5x. Saiba que toda lei desse tipo indica que uma varivel  diretamente proporcional  outra. Isto , sempre que as variveis se relacionam por uma lei como y=k"x `(com k >0, k,_r`), *y*  diretamente proporcional a *x*. Assim, o exemplo 1 mostra que o permetro da circunferncia  diretamente proporcional ao raio.

<176>
Atividades

<R+>
1. Vamos retomar a situao que acabamos de ver, com esta modificao: em vez de considerar a rea da parte colorida, vamos considerar o seu permetro.
<P>
_`[{o smbolo ** representa a parte colorida_`]

<F->
      !::::::::::
      l          _
      l          _ 5
      l          _
      l          _
      r::::::::::w 
  *x* l_
      l_
      h::::::::::j
           5
<F+>

  O permetro *y* `(em cm`) da parte colorida  funo de *x* `(em cm`).
 a) Qual  o domnio A dessa funo?
 b) Numa tabela, coloque para *x* os valores 1, 2, 3 e 4 e apresente seus correspondentes valores de *y*.
 c) Qual  a lei de associao da funo?
<P>
2. A loja Bom e Barato est promovendo uma liquidao. Todos os produtos esto com 30% de desconto.
 a) Marilda comprou um par de patins por R$35,00. Qual era o preo dos patins antes da liquidao?
 b) A loja colocou uma tabela para ilustrar o preo de alguns produtos. Calcule o preo de cada um com o desconto de 30%.

_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas_`]

  1 coluna: produto
  2 coluna: preo anterior
  3 coluna: preo com desconto

<F->
1             l 2        l 3
::::::::::::::::r::::::::::::r::::
bola            l R$40,00  l '''
chuteira        l R$55,00  l '''
mesa de         l            l
  pingue-pongue l R$600,00 l '''
bermuda         l R$35,00  l '''
par de tnis    l R$80,00  l '''
<F+>
<P>
c) Escreva a lei de associao para os preos a pagar, *p*, em funo do preo anterior, *x*.

3. A medida da diagonal *d* de um quadrado  funo da medida *l* do lado.
 a) Qual  a lei de associao dessa funo?
 b) A medida da diagonal *d*  diretamente proporcional  medida *l* do lado?
 c) Se l=18, qual  o valor 
  de *d*?

4. Quando entrei num txi, o taxmetro j marcava R$3,50 de bandeirada. Alm disso, paguei R$0,50 por quilmetro rodado. Nesse txi, o preo da corrida  funo da distncia que ser percorrida: numa corrida de *x* quilmetros pagam-se *y* reais.
 a) Qual  a lei de associao da funo?
<P>
 b) Numa tabela, coloque os valores 5, 10, 15 e 20 para *x* e apresente os correspondentes valores de *y*.

5. Suponha que cada garrafa de 2 litros de refrigerante custe 3 reais. O preo de alguns refrigerantes  funo do nmero de refrigerantes que se compra: quem compra *x* refrigerantes paga *y* reais.
 a) Numa tabela, coloque os valores 7, 8, 9 e 10 para *x* e apresente os correspondentes valores de *y*.
 b) Qual  a lei de associao da funo?

<177>
6. Voc j sabe que o comprimento *l* de uma mola  funo da massa *m* que ela suporta, como foi visto no texto deste item. Se certa mola tem comprimento de 20 cm para uma massa de 200 g e 35 cm para uma massa de 350 g, qual  a lei de associao entre *l* e *m*?
<P>
7. Considere uma funo de domnio _r, dada pela lei de associao y=x2.
 a) Numa tabela, coloque os valores 1, 3, 5 e 7 para *x* e apresente os correspondentes valores de *y*.
 b) Quando x=10, qual  o valor de *y*?
 c) Existem valores de *x*, pertencentes ao domnio, para os quais se tenha y=9? Quais?
  Cuidado: muitos elementos do domnio no aparecem na tabela.
 d) Existem valores de *x*, pertencentes ao domnio, para os quais se tenha y=-9? Quais?

8. Um retngulo tem 8 cm de comprimento e 5 cm de largura. Ele ser dividido em cinco 
  partes, desta maneira: nos 
  seus cantos, sero desenhados quadrados, os quatro com lados de *x* cm.
<P>
<F->
       *x*
      !::::::::::::::::::!:::
      l   _               l   _
  *x* l   _               l   _
      r:::j               h:::w
      l                       _
      l                       _
      l                       _ 5
      l                       _
      l                       _
      r:::               !:::w
      l   _               l   _
      l   _               l   _
      h:::j:::::::::::::::h:::j
                 8
<F+>

  A rea *y* da cruz `(em centmetros quadrados`)  funo 
  de *x*.
 a) Qual  o domnio A dessa funo?
 b) Qual  a lei de associao da funo?
 c) Numa tabela, coloque para *x* os valores 0,5, 1,0, 1,5 e 2,0 e apresente os correspondentes valores de *y*.

Pensando em casa

9. Os professores de Lngua Portuguesa e Matemtica combinaram uma questo para dar aos seus alunos. Primeiro, eles escreveram as seguintes palavras, sem acentu-las: album, chapeu, estrela, falso, lapis, passaro. A seguir, consideraram a funo *f*, que associa a cada uma dessas palavras o nmero 0 ou o nmero 1: associa-se o 0 se a palavra (com ortografia correta) no tiver acento e o 1, quando o tiver. Represente essa funo por meio de um diagrama. (Se voc no entendeu o pedido, lembre-se de que o primeiro exemplo de funo deste item tambm foi representado por um diagrama.)

<178>
10. Considere que, para abastecer um carro, o valor, por litro de gasolina, seja R$2,50.
<P>
 a) Observe o mostrador da bomba de gasolina e calcule quantos litros foram comprados.

_`[{figura adaptada_`]
  Preo a pagar: R$42,00
  Quantidade de litros: ...

 b) Uma pessoa colocou 48 litros de gasolina no tanque de seu carro. Quanto deve pagar?
 c) Escreva a lei da funo que associa o preo *p* a pagar  quantidade L de litros de gasolina adquiridos.

11. A bandeira das Olimpadas representa o congraamento dos continentes: a Europa  simbolizada pelo crculo azul; a 
  sia, pelo amarelo; a frica, pelo preto; a Amrica, pelo verde; a Oceania, pelo vermelho.
  A cada continente corresponde uma nica cor, ou seja, a cor  dada em funo do continente que representa. Faa um diagrama associando a cada continente sua cor na bandeira das Olimpadas.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

12. Um quadrado, com lados de 10 cm, ser dividido em 3 partes, como mostra a figura.

_`[{o smbolo ** representa a parte colorida_`]

<F->
       *x*      *x*
      !::::!::::::
      l    l_    _
      l    l_    _
      l    l_    _
  10 l    l_    _
      l    l_    _
      l    l_    _
      l    l_    _
      h::::h::j::::j
<F+>
<P>
  Cada retngulo branco tem 
  um lado de 10 cm e outro de 
  *x* cm.
  Considerando todos os modos 
  de se fazer a diviso, o permetro *y* do retngulo colorido `(em cm`)  funo de *x*.
 a) Qual  o domnio da funo?
 b) Qual  a lei de associao?
 c) Quando x=3, qual  o valor de *y*?
 d) Para que valor de *x* se tem y=30?

13. Responda novamente s perguntas do exerccio anterior, mas, antes, faa esta modificao: em vez do permetro do retngulo colorido, considere a sua rea. Assim, a rea *y* desse retngulo `(em centmetros quadrados`) ser funo de *x*.

14. Sero igualmente divididos 120 litros de leite entre algumas pessoas. O volume de leite que cada uma receber  funo do nmero dessas pessoas: quando so *x* pessoas, cada uma recebe *y* litros de leite. 
 a) Qual  a lei de associao entre *x* e *y*?
 b) Quando x=80, qual  o valor de *y*?
 c) Para que valor de *x* se tem y=2,5?

<179>
15. Considere a funo dada por y=?8x-14*?x2+1*, com x,_r.
 a) Quando x=1, qual  o valor de *y*?
 b) Para que valores de *x* se tem y=1?

16. Um caminho-pipa entra num posto com uma carga de 30.000 litros de lcool. Ele vai descarregar o lcool, colocando no reservatrio do posto 1.200 litros de lcool a cada minuto. Nessa descarga, o volume  
  funo do tempo: *x* minutos 
  depois do incio da operao  
<P>
  `(com x25`), ainda restam *y* litros de lcool no caminho.
 a) Qual  a lei de associao da funo?
 b) Quando x=7, qual  o valor de *y*?
 c) Para que valor de *x* se tem y=14.400?
 d) Quinze minutos depois do incio da operao, quantos litros de lcool ainda restam no caminho?
 e) Depois de quantos minutos do incio da operao restaro 6.000 litros de lcool no caminho?

17. Na figura _`[no adaptada_`], temos um quadrado com lados de 10 cm. A extremidade X do segmento ^c?{c{x* se movimenta sobre o lado ^c?{a{b*, indo de A at B. Assim, a rea *y* `(em cm2`) da parte colorida  funo da distncia *x* `(em cm`).
<P>
 a) Qual  o domnio da funo?
 b) Qual  a lei de associao?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Desafios e surpresas

1. Um pedreiro ganha R$6,25 por hora de trabalho, at um total de 48 horas semanais. Se trabalhar mais de 48 horas numa semana, ganha 20% a mais por hora extra trabalhada.
 a) Quanto ganhar o pedreiro se trabalhar 48 horas?
 b) Quanto ele ganhar se trabalhar 50 horas?
 c) Descubra a lei de associao para o ganho semanal G em funo do nmero *t* de horas trabalhadas, sendo t=48.
 d) Faa o mesmo para o caso em que to48.
<P>
2. De carro, eu ia a 80 km/h porque queria fazer a viagem 
  `(de 320 km`) em 4 horas, mas, depois de *x* horas de viagem `(com x3`), mudei de ideia: 
  quis fazer a viagem completa em 3 horas. Calculei ento a velocidade com que deveria percorrer o trecho restante. Essa velocidade *y* `(em km/h`)  funo de *x*.
 a) Calcule o valor de *y* quando x=1.
 b) Escreva a lei de associao da funo.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<180>
2- Funo constante. Funes de 
  1 e 2 graus

Funo constante

  Outro dia sonhei que estava num pas muito interessante... L no havia inflao! J pensou? Uma bermuda que custa hoje 10 pilas custava os mesmos 10 pilas h cinco anos e custar 10 pilas daqui a sete anos. Sem inflao, ela custar 10 pilas sempre. O preo permanece constante. 
  O preo *p* da bermuda pode ser indicado assim: p=10.

  Funo constante  toda funo que tem uma lei de associao do tipo y=c, onde *c*  um nmero real.

Exemplo

  Um quadrado com lados de 10 cm ser dividido em cinco partes, desta maneira: nos seus cantos sero desenhados quadrados, os quatro com lados de *x* cm.
<P>
<F->
     *x*         *x*
    !::::::::::!:::
*x* l   _       l   _ *x*
    l   _       l   _
    r:::j       h:::w
    l               _
    l               _
    l               _
    r:::       !:::w
*x* l   _       l   _ *x*
    l   _       l   _
    h:::j:::::::h:::j
     *x*         *x*

                10-2x
               _:::::::l
           !::::::::::!:::
           l   _       l   _ 
           l   _       l   _
        :! r:::j       h:::w
         l l               _
10-2x  l l               _
         l l               _
        :h r:::       !:::w
           l   _       l   _ 
           l   _       l   _
           h:::j:::::::h:::j
<F+>

<181>
  Levando em conta todos os modos de fazer isso, o permetro da cruz  uma funo de *x*.
  Parece que o permetro da 
 cruz varia em funo de *x*, 
 mas, usando lgebra, voc ter 
 uma surpresa.
  Observe os lados da cruz: quatro deles medem 10-2x cm, e os outros oito medem *x* cm. Ento, chamando de *y* o permetro da cruz `(em centmetros`), temos:

y=4`(10-2x`)+8x
 y=40-8x+8x
 y=40.

  Nesse caso, alterando *x*, as dimenses da cruz tambm mudam, mas o seu permetro no. Ele permanece constante.
  O permetro da cruz  uma funo constante, dada pela lei de associao y=40.
<P>
Funo de 1 grau

  Suponha que eu tome um txi que cobre R$3,20 de bandeirada e mais R$1,30 a cada quilmetro rodado.
  Se eu percorrer *x* quilmetros no txi, voc imagina qual ser o preo P da corrida? 
  O preo P a pagar  funo dos quilmetros percorridos e pode ser dado pela lei de associao: P=1,30x+3,20 em que *x* indica a quantidade de quilmetros rodados.
<182>
  A funo dada por P=1,30x+
 +3,20  chamada de funo poli-
 nomial de 1 grau porque 1,30x+
 +3,20  um polinmio de 1 grau. Para abreviar, vamos chamar de funo de 1 grau toda funo dada por y=ax+b, sendo a,_r, b,_r, a=0.

Exemplo

  Um quadrado com lados de 10 cm ser dividido em dois retngulos por um segmento de reta paralelo ao lado ^c?{c{d*.

<R+>
_`[{o smbolo ** representa a parte colorida_`]
<R->

<F->
     F   10   E
      !::::::::::
      l          _
      l          _
      l          _
      r::::::::::w
      l_ 
  *x* l_
      h::::::::::j
     C         D
<F+>

  Levando em conta todos os modos de fazer isso, o permetro do retngulo colorido  uma funo de *x* `(em cm`).
<P>
<R+>
_`[{o smbolo ** representa a parte colorida_`]
<R->

<F->
          10
      !::::::::::
      l          _
      l          _
      l          _
      l          _
      r::::::::::w 
  *x* l_
      h::::::::::j

          10
      !::::::::::
      l          _
      l          _
      l          _
      r::::::::::w
      l_ 
  *x* l_
      h::::::::::j
<P>

          10
      !::::::::::
      l          _
      l          _
      r::::::::::w
      l_
  *x* l_ 
      l_
      h::::::::::j

          10
      !::::::::::
      l          _
      r::::::::::w
      l_
      l_
  *x* l_ 
      l_
      h::::::::::j
<F+>

  Sendo *y* o permetro desse retngulo `(em cm`), temos: y=2"x+
 +2"10 portanto: y=2x+20.
  Note: essa  uma lei do tipo y=ax+b, com a=2 e b=20. Nesse 
<P>
caso, o permetro  uma funo de *x*, de 1 grau.

Funo de 2 grau

  Um automvel vem a 50 km/h. O motorista v um obstculo e pisa fundo no freio. Quantos metros o automvel percorre a partir do instante em que o obstculo foi avistado?
<183>
  A resposta depende dos reflexos do motorista e da marca do automvel. Mas, para um motorista comum, a distncia *d*  funo da velocidade *v*.
  Para cada marca de automvel, engenheiros qualificados determinam a lei de associao da funo aps certos testes. Uma lei de associao tpica para esses casos, com *d* em metros e *v* em quilmetros por hora, : d=0,004v2+0,1v.
  Se considerarmos que o automvel de nosso exemplo obedece a essa lei, voc pode calcular quantos 
<P>
metros ele vai percorrer at parar.
  A funo dada por d=0,004v2+
 +0,1v  chamada de funo 
 polinomial de 2 grau porque 0,004v2+0,1v  um polinmio de 2^p grau. Para abreviar, vamos chamar de funo de 2 grau toda funo dada por: y=ax2+bx+c, sendo a,_r, b,_r, c,_r, a=0.

Exemplo

  Vamos chamar de *y* a rea colorida deste quadrado `(em cm2`).

<R+>
_`[{o smbolo ** representa a parte colorida_`]
<R->
<P>
<F->
    *x*
   !:::!::::::::
   ll        _ *x*
   ll        _
   lh::::::::w
5 l_
   l_
   l_
   l_
   h::::::::::::j
        5
<F+>

  As medidas esto em centmetros.
  A rea *y* do "L"  funo 
 de *x*.
  A rea *y*  a rea do quadrado menos a do retngulo branco: y=25-x`(5-x`) portanto: y=x2-
 -5x+25.
  Note: essa  uma lei do tipo y=ax2+bx+c, com a=1, b=-5 e c=25.
  Ento, a rea do "L"  uma funo de *x*, de 2 grau.
<P>
<R+>
_`[{o smbolo ** representa a parte colorida_`]
<R->

<F->
  *x*
  !::!::::::::
  ll        _ *x*
  lh::::::::w
  l_
  l_
  l_
  l_
  l_
  h:::::::::::j

    *x*
  !:::::!:::::
  ll     _
  ll     _ *x*  
  ll     _
  lv-----#
  l_
  l_
  l_
  h:::::::::::j
<P>
    *x*     
  !::::::!:::::
  ll     _
  ll     _ *x*  
  ll     _
  lv-----#
  l_
  l_
  l_
  h::::::::::::j

     *x*
  !:::::::::!::
  ll  _
  ll  _   
  ll  _ *x*
  ll  _
  ll  _
  lv--#
  l_
  h::::::::::::j
<F+>

<184>
Atividades

<R+>
18. A seguir, apresentamos as leis de associao de algumas funes. Informe quais so as funes constantes, quais so 
<P>
  de 1 grau e quais so de 2 grau.
 a) y=5x2-8x+9 
 b) y=5x-8 
 c) y=5x 
 d) y=5 
 e) y=10`(x-5`)2
 f) y=4x
 g) y=4
 h) y=4x+20

19. O trabalho de varrer 
  6.000 m2 de caladas  
  executado pelos empregados 
  da prefeitura de certa cidade. Sabe-se que cada trabalhador varre, em mdia, 100 m2 por hora. Nessas condies, sendo *n* o nmero de trabalhadores e *t* o tempo em horas:
 a) Qual  a expresso algbrica que fornece *n* em funo de *t*? t=6.000n; t=6.000n100 ou t=60n?
 b) A grandeza *t*  diretamente proporcional a *n*?

20. A tabela a seguir d o preo de certo produto em funo de sua massa (ou peso, como se costuma dizer no dia a dia):

<F->
  !:::::::::::::::::::::::::::::
  l massa m       _ preo P     _
  l `(em gramas`)   _ `(em reais`)   _
  r:::::::::::::::w::::::::::::::w
  l 100          _ 3,60        _ 
  l 200          _ 7,20        _ 
  l 250          _ 9,00        _
  l 300          _ 10,80       _
  l 400          _ 14,40       _
  l 500          _ 18,00       _
  h:::::::::::::::j::::::::::::::j
<F+>

a) Qual  a expresso que apresenta a quantia P em funo da massa *m*: P=0,36 m, P=3,6 m ou P=36 m?
 b) P  diretamente proporcio-
  nal a *m*?

21. No texto deste item, exemplificamos a lei de uma funo que associa a velocidade de um automvel  distncia percorrida at frear, desde o momento em que o motorista v um obstculo. Verifique qual  a lei apresentada e calcule quantos metros o automvel percorre at parar, se sua velocidade era 50 km/h.
 22. Uma torneira tem um vazamento que deixa escapar meio litro de gua por hora. At agora, j foram desperdiados 150 L de gua. Supondo que o vazamento continue desse jeito, o volume total da gua desperdiada  funo do tempo. O volume ser medido em litros, e o tempo ser contado em horas, a partir de agora. A lei de associao dessa funo  do tipo y=ax+b. Apresente os valores de *a* 
  e *b*.
<P>
23. Observe um quadrado de 
  lado *l*:

<F->
  !:::::::::
  l         _ 
  l         _
  l         _ *l*
  l         _
  l      !::w 
  l      l_-_
  h::::::h::j
      *l*
<F+>

a) O permetro do quadrado  funo da medida dos seus lados. Qual  a lei de associao dessa funo?
 b) A rea do quadrado  funo da medida dos seus lados `(em cm`). Qual  a lei de associao dessa funo?

24. Nesta figura, temos um retngulo dentro de um quadrado. `(As medidas esto em centmetros.`)
<P>

<F->
      !:::::::::: 
      l          _ 
      l          _  
      l          _ 6
      r::::::::::w 
  *x* l_ 
      l_ 
      h::::::::::j 
           6
<F+>

a) O permetro do retngulo assinalado  funo de *x*. Qual  a lei de associao dessa funo?
 b) A rea do retngulo assinalado  funo de *x*. Qual  a lei de associao dessa funo?

_`[{o menino pensa: "O permetro e a rea so funes da medida do lado..."_`]

<185>
Pensando em casa

25. A seguir, damos as leis de associao de algumas funes. Escreva-as de maneira mais simples e informe quais so constantes, quais so do 1 grau e quais so do 2 grau.
 a) y=`(x+2`)2-`(x-1`)2
 b) y=`(x+2`)2+`(x-1`)2
 c) y=`(2x+3`)`(x+4`)-`(x+2`)`(x+9`)
 d) y=`(x+2`)`(x+5`)-`(x+3`)`(x+4`)

26. Nesta figura _`[no adaptada_`], destacamos uma parte do quadrado. `(As medidas esto em centmetros.`) 
  A rea da parte _`[no adaptada_`]  funo de *x*. Esta  uma funo constante, de 1 ou de 2 grau? Para responder,  preciso encontrar a lei de associao.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 27. Um rob anda sempre na mesma velocidade: 3 km/h. A distncia que ele percorre  uma fun-
<P>
  o do tempo que ele anda. Que tipo de funo  essa?

28. Nesta figura, colorimos um "U" dentro do quadrado. `(As medidas esto em centmetros.`)

_`[{o smbolo ** representa a parte colorida_`]

<F->
  *x*      *x*
  !::!::::::
  ll    __ 
  ll    __
  ll    __ 
  ll    __
  lh::::j_  
  l_ 
  h::::::::::j 
       4
<F+>

a) O permetro do "U"  uma funo de *x*, com uma lei de associao do tipo y=ax+b. Apresente os valores de *a* e *b*.
<P>
 b) A rea do "U"  uma funo de *x*, com uma lei de associao do tipo y=ax2+bx+c. Apresente os valores de *a*, *b* e *c*.

29. Existe uma funo que associa as medidas da altura e do lado de tringulos equilteros.
 a) Escreva a lei de associao.
 b) Que tipo de funo  essa?

<186>
Desafios e surpresas

3. Galileu Galilei `(1564-
  -1642`), considerado o fundador da Fsica moderna, realizou grande produo cientfica baseada na observao de padres e regularidades e em experimentaes. Fazendo as experincias e observando os padres numricos resultantes, ele pde descobrir funes e relaes que descrevem os fenmenos estudados.
  Um dos fenmenos estudados por Galileu foi a queda dos corpos. Na poca era aceita a teoria do filsofo grego Aristteles, que afirmava que os corpos pesados caem mais depressa que os leves, proporcionalmente ao seu peso. A partir da experimentao, Galileu refutou a tese de 
  Aristteles. 
  Soltando do alto de uma torre, ao mesmo tempo, uma bala de canho e uma de mosquete, ele observou que ambas chegavam juntas ao cho, ou seja, o tempo de queda  o mesmo, independentemente do peso de cada um. Comprove!
  Galileu fez mais: descobriu a funo que associa o tempo *t* da queda com a altura *h*.
  A tabela mostra os dados de uma experincia como as que Galileu fez, relacionando tempo de queda e altura da qual o objeto cai.
<P>
<F->
  t s l h m
  ::::::r:::::::
   1   l 4,9
   2   l 19,6
   3   l 44,1
   4   l 78,4
<F+>

  Determine a lei de associao entre *h* e *t*. Dica: Galileu descobriu que *h*  diretamente proporcional ao quadrado de *t*.

4. (UCS-BA) Em certo pas, as pessoas maiores de 21 anos pagam um imposto progressivo sobre os rendimentos. Esse imposto corresponde a 10% sobre as primeiras 1.000 unidades monetrias recebidas e 20% sobre os ganhos que ultrapassam esse valor. Nessas condies, indicando por *i* o valor do imposto e por *r* uma renda superior a 1.000, tem-se:
 a) i=0,2r-100 
 b) i=100+0,2r 
 c) i=0,3r
<P>
 d) i=100+0,3r
 e) i=r-100
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<187>
3- Grfico de uma funo

  Fazer o grfico de uma funo  uma maneira de represent-la com pontos no plano cartesiano. Cada valor de *x* do domnio tem o seu correspondente valor de *y*.
  Marcamos, ento, no plano cartesiano, o ponto `(x, y`). Fazendo isso com todos os valores de *x* do domnio, obteremos um conjunto de pontos. Esse conjunto  o grfico da funo.
  Os prximos exemplos vo ajudar a compreender melhor a ideia de grfico de uma funo.
<P>
Exemplos

<R+>
1. Considere a funo A dada por y=x2-6x+10, com domnio ~l1, 2, 3, 4, 5_,. Nesse caso, temos a seguinte tabela:

<F->
  !:::::::::::::::::::::::::
  l x  _ y=x2-6x+10      _
  r::::w:::::::::::::::::::::w
  l 1 _ 12-6'1+10=5  _
  l 2 _ 22-6'2+10=2  _
  l 3 _ 32-6'3+10=1  _
  l 4 _ 42-6'4+10=2  _
  l 5 _ 52-6'5+10=5  _
  h::::j:::::::::::::::::::::j
<F+>

  No plano cartesiano, marcamos os pontos (1, 5), (2, 2), (3, 1), (4, 2) e (5, 5). Fazendo isso, obtemos o grfico de *f*:

Grfico de *f*

<F->
Legenda:
  eixo vertical: *y*
  eixo horizontal: *x*
 
     l
  5 r:o::::::::::o
     l  l           l
  4 l  l           l
     l  l           l
  3 l  l           l
     l  l           l
  2 r::r:o::::o  l
     l  l  l     l  l
  1 r::r::r:o  l  l
     l  l  l  l  l  l
  0 h::h::h::h::h::h::
       1 2 3 4 5

  !::::::::
  l  x _  y _
  r::::w::::w
  l 1 _ 5 _
  l 2 _ 2 _ 
  l 3 _ 1 _ 
  l 4 _ 2 _ 
  l 5 _ 5 _
  h::::j::::j
<F+>

<188>
<P>
2. Vamos fazer o grfico de duas funes, *f* e *g*. As duas so funes constantes, que associam y=2 a todos os elementos do domnio. A funo *f* tem domnio A=~l2, 3, 4, 5_, e *g* tem domnio B=~lx,_r,2=x=5_,.

Grfico de *f*

<F->
Legenda:
  eixo vertical: *y*
  eixo horizontal: *x*

     l
     l  
  4 l  
     l  
  3 l  
     l  
  2 r::::o:o:o:o
     l     l  l  l  l
  1 l     l  l  l  l
     l     l  l  l  l
  0 h:::::h::h::h::h::
       1 2 3 4 5
<P>

  !::::::::
  l  x _  y _
  r::::w::::w
  l 2 _ 2 _
  l 3 _ 2 _
  l 4 _ 2 _
  l 5 _ 2 _
  h::::j::::j
<F+>

  Na funo *g*, no  possvel fazer uma tabela com todos os valores de *x* do domnio, pois existem infinitos nmeros reais de 2 at 5. No entanto,  fcil perceber onde esses infinitos pontos devem ser marcados.

Grfico de *g*

<F->
Legenda:
  eixo vertical: *y*
  eixo horizontal: *x*
<P>
     l
     l  
  4 l  
     l  
  3 l  
     l  
  2 r::::o:::::::o
     l     l        l
  1 l     l        l
     l     l        l
  0 h:::::h::::::::h::
       1 2 3 4 5
<F+>

  Ateno: num ponto como 
  (3, 2), os nmeros 3 e 2 so as coordenadas do ponto.
  A primeira coordenada chama-se abscissa `( o 3, no exemplo`). A segunda coordenada chama-se ordenada `( o 2, no exemplo`).
<P>
Atividades

_`[{para as atividades de 30 a 35, pea orientao ao professor_`]

30. Marque no plano cartesiano os pontos `(x, y`) indicados na tabela.

<F->
  !::::::::::
  l   x _   y _
  r:::::w:::::w
  l -1 _ -2 _
  l  2 _ -1 _
  l  3 _  1 _ 
  l  5 _  2 _
  h:::::j:::::j
<F+>

31. Faa o grfico da funo 
  dada pela lei de associao y=x2-2x com domnio igual 
  a ~l-1, 0, 1, 2, 3_,.
<P>
 32. Faa agora o grfico da funo y=x2-2x considerando o domnio ~lx,_r,-1=x=3_,.
  Ateno: o grfico ser uma linha e no apenas pontos isolados.
 33. Faa o grfico da funo dada por y=?x+1*2 com domnio ~l1, 3, 5, 7, 9_,.
 34. Sendo A=~l1, 2, 3, 
  4, 5_, faa o grfico da funo dada por y=x2-4x, com domnio A.
 35. Faa a tabela e o grfico da funo dada por y=12x, com domnio A=~l2, 3, 4, 6_,.

<189>
Pensando em casa

36. Neste grfico, quais so as coordenadas dos pontos A, B, C e D?
<P>

<F->
                  y                
                  _
                  _
         A !:::::w 2
            l     _ 
            l     w 1
            l     _
x ::r:r:r:r:r:r:r:w:r:r:r:r:r::>
      l       l   _ l
      l       l   w:bD
      l       l   _
   B h:::::::r:::w
              l   _
              l   w
              l   _
              l   w
              l   _
           C h:::w
                  _
<F+>

37. Os pontos indicados na tabela so os que esto marcados no plano cartesiano. Apresente os valores de *a*, *b*, *c*, *d* e *e*.

<F->
    x l  y
  ::::r::::
  -4 l *a*
  -3 l *b*
  -1 l *c*
   2 l *d*
   4 l *e*
<F+>

<F->
             y    
             _                
           !:w3
           l _
           l w:::;  
           l _   l  
       !:::r:w1 l
       l   l _   l  4
  x :r:r:r:r:w:r:r:r:r:>
     l       _       l
     h:::::::w       l
             _       l
             w:::::::b
             _
<F+>
<P>
38. No grfico, marcamos os pontos A, B, C e D. Entre esses pontos, apresente:

<F->
            y
            l                
         3 l
            l
         2 r:::;D
            l   l
         1 l   l
     A     l   l
  x ::r:r:r:r:r:r::>
          l l l   
          l r:bC 
          l l 
       B h:r
            l
            
<F+>
a) os que tm abscissas positivas;
 b) os que tm ordenadas negativas;
 c) o que tem a maior abscissa;
 d) o que tem a menor ordenada.
<P>
39. Apresentamos o grfico de *f*. Faa a tabela dessa funo.

<F->
     y
     l
  4 r:::::::o
     l        _
  3 r::::o::w:o 
     l     _  _  _
  2 r     _  _  _
     l     _  _  _
  1 r:o::w::w::w:o
     l  _  _  _  _  _
  0 r::j::j::j::j::j::> x 
     l  1 2 3 4 5
<F+>

_`[{para as atividades 40 e 41, pea orientao ao professor_`]

40. Considere a funo *f* dada por y=2x-5, com domnio A=~l1, 2, 3, 4_,. Faa a tabela e o grfico de *f*.
 41. Considere a funo *f* dada por y=4-x2, com domnio A=~l0, 1, 2, 3_,. Faa a tabela e o grfico de *f*.
<P>
42. Apresentamos o grfico da funo *f*. Nesta funo:

<F->
   y
   l
4 r::::::::::o
   l           _
3 r::::o:::::w::::o 
   l     _     _     _
2 r:o  _     _     _
   l  _  _     _     _
1 r::w::w:::::w:::::w::::o
   l  _  _     _     _     _
0 h::w::w::w::w::w::w::w::w::> x 
      1 2 3 4 5 6 7 8
<F+>

a) Quando x=2, qual  o valor 
  de *y*?
 b) Para que valores de *x* se tem y=2?
 c) Para que valores de *x* se tem y=3?
<P>
43. Uma funo *f* tem domnio A=~l-3, -2, -1, 0, 1_,. Para todo x,A, tem-se y=-3. Faa a tabela e o grfico 
  de *f*.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<190>
4- Grfico da funo constante 
  e da funo de 1 grau

Funo constante

  Considere a funo constante dada por y=3 com domnio A=~l-2, -1, 0, 1, 2_,. Nesse caso, temos:
<P>

<F->
  x  l  y
:::::r::::
-2  l 3
-1  l 3
 0  l 3
 1  l 3
 2  l 3 
<F+>

_`[{grfico no adaptado_`]

  Agora, considere a funo 
 constante dada por y=3, com 
 domnio _r. No  difcil 
 perceber que seu grfico 
 _`[no adaptado_`]  uma reta 
 horizontal:

  O grfico de qualquer funo constante, com domnio _r,  uma reta horizontal.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
Funo de 1 grau

  Os inmeros grficos j construdos nos ltimos sculos comprovam:

  O grfico de qualquer funo de 1 grau, com domnio _r,  uma reta (que no  horizontal nem vertical).

<191>
Exemplos

<R+>
1. Vamos fazer o grfico _`[no adaptado_`] da funo dada por y=2x+1, com domnio _r. Essa funo  de 1 grau. Logo, seu grfico  uma reta. Basta, ento, atribuir dois valores para *x* e calcular os valores de *y*. A, marcamos os dois pontos no plano cartesiano e traamos a reta que passa por eles.

<F->
   x  l  y
  ::::r::::
  0  l 1
  1  l 3
<F+>
<P>
2. Vamos fazer o grfico _`[no adaptado_`] da funo dada por y=-x-2, com domnio _r. Atribuiremos dois valores para *x*. Por exemplo, -2 e 0.
<R->

<F->
    x  l   y
  :::::r:::::
  -2  l  0
   0  l -2
<F+> 

Nota

  O grfico de y=ax+b, com domnio _r, sempre corta o eixo dos 
 *y* no ponto `(0, b`). Veja, no exemplo 1, que o grfico de y=2x+1 corta o eixo dos *y* no ponto `(0, 1`); e, no exemplo 2, que o grfico de y=-x-2 corta o eixo dos *y* no ponto `(0, -2`).
<P>
Atividades

<R+>
_`[{para as atividades de 44 
  a 48, pea orientao ao 
  professor_`]

44. Faa o grfico da funo constante dada por y=2, com domnio _r.
 45. Faa o grfico de y=x+1, com domnio _r.

46. Faa o grfico da funo com domnio _r dada por:
 a) y=x
 b) y=-2x+5
 c) y=-x

<192>
47. Apresentamos o grfico _`[no adaptado_`] de uma funo. Qual  sua lei de associao?
  Resoluo:
  Como o grfico  uma reta, a lei de associao da funo  do tipo y=ax+b, com a=0.
<P>

<F->
   x  l  y
  ::::r::::
  1  l 2
  3  l 3
<F+> 

  Observe que, em y=ax+b, fazendo x=1, devemos obter y=2: 
  2=a"1+b portanto, a+b=2. E, fazendo x=3, devemos obter y=3: 3=a"3+b portanto, 3a+b=3. Temos, assim, um sistema: a+b=2 e 3a+b=3.
  Voc j sabe resolv-lo. Faa isso. Voc dever encontrar a=12 e b=32. Como sabamos que y=ax+b, conclumos que a lei de associao da funo  y=12x+32.
 48. Escreva a lei de associao da funo que tem o grfico 
  _`[no adaptado_`]:
<P>
49. (Saresp) O grfico desenhado a seguir representa uma relao entre grandeza tempo `(em horas`) e distncia percorrida `(em quilmetros`).

<F->
  distncia `(km`)
       l            
       l            ^
  280 r::::::::::o
       l        ^ l
       l      ^   l
  140 r::::o     l
       l  ^ l     l
       l^   l     l
       h:::::h:::::h:::> tempo 
            2    4    `(horas`)
<F+>

  As grandezas distncia e tempo, nesse caso so:
 a) no proporcionais.
 b) inversamente proporcionais.
 c) diretamente proporcionais.
 d) proporcionais, mas a primeira ao quadrado da segunda.
<P>
Pensando em casa

50. Faa o grfico da funo com domnio _r dada por:
 a) y=3
 b) y=3x
 c) y=3+x

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

51. A tabela a seguir refere-se a uma funo de 1 grau. Escreva a lei de associao dessa funo.

<F->
   x  l   y
  ::::r:::::
  3  l -3
  4  l  2
<F+>

<193>
<P>
_`[{para as atividades 52, 53 e 54, pea orientao ao professor_`]

52. Escreva as leis de associao das funes que tm como grfico as retas a seguir:

_`[{dois grficos no adaptados_`]

53. Nesta figura _`[no adaptada_`], colorimos uma parte do quadrado com lados de 4 cm. `(As medidas esto em centmetros.`)
  Pode-se ter qualquer valor de *x*, desde 0 at 4 `(inclusive 0 e 4`). Chame de A a rea `(em centmetros quadrados`) da regio colorida. A  funo de *x*. Faa o grfico dessa funo.

54. Um automvel destrudo foi abandonado no quilmetro 20 de uma estrada, e l vai ficar por alguns sculos. (Alis, abandonar um automvel nessas condies s aumenta a poluio ambiental. Ningum deveria fazer algo assim!)
  Faa o grfico:
 a) da posio do automvel na estrada `(em quilmetros`) em funo do tempo `(em horas`);
 b) da velocidade do automvel `(em quilmetros horrios`) em funo do tempo `(em horas`).

55. Numa estrada, um carro vai do quilmetro 50 ao 450 sempre na velocidade de 80 km/h. No eixo dos *y* use uma escala, e no eixo dos *x*, outra, para fazer o grfico:
 a) da velocidade do carro `(em quilmetros horrios`) em funo do tempo `(em horas`);
 b) da posio do carro na estrada `(em quilmetros`) em funo do tempo `(em horas`).
<P>
Desafios e surpresas

5. (Vunesp) Um botnico mede o crescimento de uma planta, em centmetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele em um grfico, resulta a figura a seguir. Se for mantida sempre essa relao entre tempo `(t`) e altura `(h`), a planta ter, no trigsimo dia, uma altura igual a:

<F->
     h cm
     l            ^
  2 r::::::::::o
     l        ^ l
     l      ^   l
  1 r::::o     l
     l  ^ l     l
     l^   l     l
     h:::::h:::::h:::> t dias
          5    10
<F+>

a) 5 cm 
 b) 6 cm 
 c) 3 cm
<P>
 d) 15 cm
 e) 30 cm

<194>
_`[{para as atividades 6 e 7, pea orientao ao professor_`]

6. (FAAP-SP) Admitindo que em determinada localidade uma empresa de txi cobra R$2,00 a bandeirada e R$2,00 por quilmetro rodado e outra empresa cobra R$3,00 por quilmetro rodado e no cobra bandeirada, responda: Qual dos grficos 
  _`[no adaptados_`] pode representar as duas tarifas?

7. Um garoto desafiou o pai para uma corrida de 100 m. O pai deu 30 m de dianteira ao filho, de lambuja. O grfico _`[no adaptado_`] do desempenho de cada um, mostrado de maneira bem simplificada.
 a) Como voc explicaria, pelo grfico, que o pai ganhou a corrida por 3 s?
 b) A que distncia da largada ele superou o filho?
 c) Quanto tempo depois da largada isso ocorreu?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<195>
5- Grfico da funo de 2 grau

  Os inmeros grficos construdos nos ltimos sculos comprovam:

  O grfico de qualquer funo de 2 grau, com domnio _r,  uma parbola.

  O que  uma parbola? Primeiro, veja estes exemplos:

_`[{duas parbolas no adaptadas_`]

  Essas parbolas, que so grficos das funes de 2 grau, so curvas aproximadamente em forma de U, com um eixo de simetria vertical. A parbola corta esse eixo em um ponto e depois vai se afas-
<P>
tando dele infinitamente, tanto  esquerda como  direita.

Curiosidade

  Galileu provou que a trajetria de uma bala de canho  aproximadamente uma parbola.
  Alguns matemticos posteriores provaram tambm que a bala tinha alcance mximo quando a inclinao do canho em relao ao solo era de 45.

<196>
Concavidade da parbola

  O grfico de y=ax2+bx+c  uma parbola que tem: concavidade para cima, quando ao0; concavidade para baixo, quando a0.

  No primeiro exemplo, y=x2-4x, a=1 `(portanto ao0`) e a concavidade da parbola est voltada para cima. Confirme!
  No segundo, y=-x2-2x-1, a=-1 `(portanto a0`) e a concavidade est voltada para baixo. Confirme!

Interseo com o eixo dos x

  Uma parbola cruza o eixo *x* quando y=0.
  Na funo dada por y=x2-4x, para encontrar os valores de *x* que fazem y=0, devemos resolver a equao x2-4x=0.
  Obtemos x=0 ou x=4. Os nmeros 0 e 4 so chamados de zeros dessa funo. Os pontos de interseo com o eixo *x* so (0, 0) e (4, 0).
  No segundo exemplo, y=-x2-
 -2x-1, a parbola cruza apenas uma vez o eixo *x*. Veja por qu:

-x2-2x-1=0
 x2+2x+1=0
 `(x+1)2=0
 x=-1.

  O zero dessa funo  -1.
  O ponto de interseo com o 
 eixo *x*  `(-1, 0).
  Para encontrar os pontos 
 onde uma parbola cruza o eixo 
 dos *x*, podemos usar a frmula de Bhaskara. Mas lembre-se: uma equao de 2 grau pode ter duas solues reais distintas, quando do0; uma s, quando d=0; ou nenhuma, quando d0.

1 caso: do0

  O grfico de y=ax2+bx+c, 
 com a=0 e do0, cruza o 
 eixo dos *x* em dois pontos distintos, I1 `(x1, 0) e 
 I2 `(x2, 0): x1 e x2 podem ser obtidos pela frmula de Bhaskara.

_`[{duas parbolas no adaptadas_`]

<197>
2 caso: d=0

  O grfico de y=ax2+bx+c, com a=0 e d=0, tangencia o eixo dos *x* no ponto I `(x1, 0): 
<P>
x1 pode ser obtido pela frmula de Bhaskara.

_`[{duas parbolas no adaptadas_`]

3 caso: d0

  O grfico de y=ax2+bx+c, com a=0 e d0, no cruza o eixo dos *x*.

_`[{duas parbolas no adaptadas_`]

Exemplo

  Vamos construir o grfico de y=x2-2x-3.
  Primeiro, vamos calcular os zeros ou anuladores da funo cuja lei  y=x2-2x-3.
  Resolvemos x2-2x-3=0. Aplicando a frmula, ou fatorando, obtemos x1=-1 e x2=3.
  Como uma parbola apresenta simetria, vamos fazer uma tabela atribuindo a *x* valores simtricos em relao a -1 e 3 e valores entre -1 e 3.

<F->
  x  l   y
:::::r:::::
-2  l  5
-1  l  0
 0  l -3
 1  l -4
 2  l -3
 3  l  0
 4  l  5 
<F+>

_`[{parbola no adaptada_`]

<198>
  Observe que o ponto em que 
 a parbola cruza o eixo *y*  
 (0, -3). Nesse ponto, sempre temos x=0. Obtemos o valor de *y* substituindo x=0 em y=x2-
 -2x-3: y=(0)2-2(0)-3=-3.

Interseo com o eixo dos *y*

  O ponto onde o grfico de 
 y=ax2+bx+c, com a=0, cruza 
 o eixo dos *y*  `(0, c`).

_`[{parbola no adaptada_`]

  Como exemplo, veja em que pontos os grficos de y=x2-3x+2 e de y=-x2+4x-3 cruzam o eixo dos *y*:

_`[{duas parbolas no adaptadas_`]

<199>
Atividades

<R+>
56. Considere as funes de domnio real dadas por y=x2-
  -3x+2 e y=-x2+4x-3.
  Calcule os zeros de cada uma, faa as respectivas tabelas usando valores prximos dos zeros e construa suas parbolas.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

57. Sem fazer clculos e sem desenhar, diga se o grfico  uma reta ou uma parbola.
 a) y=3x-4
 b) y=2x2-16x+1
 c) y=4-7x
 d) y=2x-x2
<P>
58. Sem fazer os grficos, diga se a parbola tem concavidade para cima ou para baixo, quando:
 a) y=x2-10x+21
 b) y=-x2+6x-8
 c) y=-2x2+16x

59. Diga quantos pontos de interseo com o eixo dos *x* tem a parbola dada por:
 a) y=x2-7x+10
 b) y=-x2+x+6
 c) y=x2-6x+9
 d) y=-2x2+x-5

_`[{para as atividades 60 e 61, pea orientao ao professor_`]

60. Em cada caso a seguir, faa um esboo do grfico da funo. Nesse esboo, indique apenas as coordenadas dos pontos de interseo da parbola com cada eixo.
 a) y=x2-2x-3
 b) y=-x2+2x+8
<P>
61. So dados os grficos de trs funes de 2 grau, com y=ax2+bx+c e d=b2-4ac. Em cada caso, diga se *a*, *c* e d so positivos, nulos ou negativos.

_`[{trs parbolas no adaptadas_`]

Pensando em casa

_`[{para as atividades 62 e 63, pea orientao ao professor_`]

62. Faa o grfico de:
 a) y=x2
 b) y=-x2

63. Agora, faa o grfico de:
 a) y=-2x2+8x-6
 b) y=x2-6x+8
 c) y=x2+4x+4

64. Sem fazer os grficos, diga se a parbola tem concavidade para cima ou para baixo, quando:
 a) y=x2+2x-1
 b) y=-2x2-12x-13
 c) y=-x2+10x-15
 d) y=x2

<200>
65. Diga quantos pontos de interseo com o eixo dos *x* tem a parbola dada por:
 a) y=-x2-9x-20
 b) y=5x2-40x+80
 c) y=x2+x+1
 d) y=2x2+3

66. Responda:
 a)  verdade que as parbolas dadas por y=ax2+bx+c, com a=0, sempre cortam o eixo 
  dos *y*?
 b)  verdade que existem parbolas dadas por y=ax2+bx+c, com a=0, que no cortam o eixo 
  dos *x*?

_`[{para as atividades 67 e 68, pea orientao ao professor_`]

67. Faa um esboo do grfico, indicando as coordenadas dos 
<P>
  pontos de interseo com cada um dos eixos:
 a) y=-x2+2x-1
 b) y=2x2-5x+2
 c) y=x2+3x

68. So dados os grficos de trs funes de 2 grau, com y=ax2+bx+c e d=b2-4ac. Em cada caso, diga se *a*, *c* e d so positivos, nulos ou negativos.

_`[{trs parbolas no adaptadas_`]

Desafios e surpresas

_`[{para as atividades de 8 a 11, pea orientao ao professor_`]

8.  dado o grfico de y=ax2+
  +bx+c. Quais so os valores de *a*, *b* e *c*?

_`[{parbola no adaptada_`]

<201>
<P>
9. (Enem) 
 I. Um boato tem um pblico-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez  diretamente proporcional ao nmero de pessoas desse pblico que conhecem o boato e diretamente proporcional tambm ao nmero de pessoas que no o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagao, P o pblico-alvo e *x* o nmero de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R`(x`)=k"x"`(P-x`), em que *k*  uma constante positiva caracterstica do boato.
  O grfico cartesiano que melhor representa a funo R`(x`), para *x* real, :

_`[{cinco grficos no adaptados_`]

 II. Considerando o modelo 
  anteriormente descrito, se o pblico-alvo  de 44.000 pessoas, ento a mxima rapidez de propagao ocorrer quando o boato for conhecido por um nmero de pessoas igual a:
 a) 11.000
 b) 22.000
 c) 33.000
 d) 38.000
 e) 44.000

10. (UPM-SP -- adaptada) Na figura _`[no adaptada_`], temos o grfico da funo real definida por y=x2+mx+`(15-m`). Qual  a ordenada *k* do ponto de interseo da parbola com o eixo 0y?

_`[{parbola no adaptada_`]

<202>
11. (Enem -- adaptada) Observe a conta de gua de uma residncia. Note que h diferentes faixas de tarifao.

_`[{tabela adaptada "Companhia de saneamento -- Tarifas de gua/m3", formada por quatro colunas; contedo a seguir_`]

<F->
  1 coluna: Faixas de consumo
  2 coluna: Tarifa 
  3 coluna: Consumo
  4 coluna: Valor -- R$

  1    l 2   l 3     l 4
  :::::::r:::::::r:::::::::r::::::
  At   l 5,50 l tarifa  l 5,50
  10    l       l mnima  l
  :::::::r:::::::r:::::::::r::::::
  11 a  l 0,85 l 7      l 5,95
  20    l       l         l
  :::::::r:::::::r:::::::::r::::::
  21 a  l 2,13 l '''     l '''
  30    l       l         l 
  :::::::r:::::::r:::::::::r::::::
  31 a  l 2,13 l '''     l '''
  50    l       l         l 
  :::::::r:::::::r:::::::::r::::::
  Acima l 2,36 l '''     l '''
  de 50 l       l         l
  :::::::h:::::::h:::::::::h::::::
             total          11,45
  ::::::::::::::::::::::::::::::::
<F+>
<P>
I. Dos grficos a seguir, o que melhor representa o valor da conta de gua, de acordo com o consumo, :

_`[{cinco grficos no adaptados_`]

II. Explique sua escolha com palavras.
<R->

<203>
Ao sobre funes

Respeite o seu nmero

  Para esta Ao, cada aluno deve ter uma folha de papel quadriculado. Nela, o aluno contorna um retngulo de 4235. (A unidade de comprimento  o lado do quadradinho do quadriculado.)
  No seu retngulo, cada aluno marca 4 pontos: 2 a partir de A e 2 a partir de B, como mostram as figuras _`[no adaptadas_`].
<P>
  Ateno: as quatro distncias indicadas pelas setas tm por medida o prprio nmero de chamada do aluno. Por exemplo, para o aluno n.o 11, elas medem 11; para o n.o 21, medem 21.
  Ligando os 4 pontos que marcou, cada aluno ter "seu" quadriltero.
<204>
  Cada aluno deve calcular a rea de seu quadriltero. Tambm deve pintar toda a regio interna e escrever o valor da rea bem visvel na folha. (A unidade de rea  a rea do quadradinho do quadriculado.)
  O professor verifica como os alunos fizeram para calcular as reas e utiliza o mesmo mtodo na lousa. Mas, em vez do nmero do aluno, ali escreve *x*. Com a ajuda da classe, os clculos vo sendo feitos at se obter a expresso da rea do quadriltero em funo de *x*.
<P>
  A seguir, nessa funo, cada aluno substitui o *x* pelo seu prprio nmero, efetua os clculos e verifica se obtm a rea do seu quadriltero.
  Na aula seguinte, uma exposio dos trabalhos na lousa, ordenados, ser muito agradvel e possibilitar os mais variados comentrios.
  O professor pode ainda sugerir que os alunos usem o papel quadriculado para fazer o grfico da 
rea do quadriltero em funo do nmero do aluno.

               ::::::::::::::::::::::::

<205>
6- Mximos e mnimos

  Considere uma parbola dada por y=ax2+bx+c, com a0. Nesse caso, a parbola tem concavidade para baixo (como no grfico _`[no adaptado_`]).
  O ponto V em que a parbola 
<P>
_`[no adaptada_`] corta seu eixo de simetria  chamado de vrtice.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Vamos "caminhar" no grfico. Indo da esquerda para a direita, os valores de *y* vo aumentando, at se chegar ao vrtice; depois, os valores de *y* vo diminuir. Ou seja, dos pontos dessa parbola, o vrtice  o que tem ordenada mxima. Nesse caso, dizemos que o vrtice  ponto de mximo.
  J numa parbola _`[no adaptada_`] dada por y=ax2+bx+c, com ao0, dizemos que o vrtice  ponto de mnimo.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
Exemplos

<R+>
1. Veja o grfico de y=x2-8x+12:

<F->
   x l   y
  :::r::::
  2 l  0
  3 l -3
  4 l -4
  5 l -3
  6 l  0
<F+>

_`[{grfico no adaptado_`]

<206>
  Observe na tabela e no grfico _`[no adaptado_`]: 2 e 6 so anuladores de y=x2-8x+12; isto , so os valores de *x* para os quais x2-8x+12=0. So os zeros dessa funo.
  Agora veja: o vrtice pertence ao eixo de simetria e este passa exatamente no meio dos zeros da funo. Por isso, nesse caso, a 
<P>
  abscissa do vrtice  a mdia aritmtica dos zeros da funo xV=?2+6*2=4.
  Calculamos a ordenada *y* desse ponto substituindo o valor 4 
  em y=x2-8x+12. Obtemos yV=42-8"4+12=-4.
  O vrtice da parbola  
  (4, -4).
  O valor mnimo da funo  y=-4, que ocorre para x=4.
 2. Vamos encontrar o mnimo da funo y=x2-3x.
  As razes de x2-3x=0 so 
  0 e 3. Em virtude da simetria da parbola, a abscissa do vrtice  a mdia aritmtica entre 0 e 3: xV=?0+3*2=32.
  Portanto, yV=`(32`)2-3"
  "`(32`)=-94.
  O vrtice da parbola  
  `(32, -94`). 
  O valor mnimo da funo  -94, que ocorre para x=32.
<P>
<F->
   x  l   y
  ::::r::::::
  0  l  0
  1  l -2
  #:b l -#*d
  2  l -2
  3  l  0
<F+>

_`[{grfico no adaptado_`]

  No 9 ano, voc s aprender a calcular mximos e mnimos de algumas funes do 2 grau. No entanto,  bom saber que clculos de mximos e mnimos em geral tm vrias aplicaes. Como voc pode ver a seguir, o pai do Calvin no sabia desse fato.

_`[{tirinha "O melhor de Calvin", de Bill Watterson, descrita a seguir_`]

  Calvin, um menino, de aproximadamente seis anos, e sua famlia esto num carro que passa sobre uma ponte cujo limite de peso  de 10 toneladas. O menino pergunta: "Pai, como  que se calcula o limite de peso das pontes?". O pai responde: "Eles passam com caminhes de pesos diferentes na ponte at ela desabar. A, eles pesam o caminho que fez a ponte cair e reconstroem tudo." O menino pensa: " o que eu imaginava." A me de Calvin irritada, fala: "Querido, por que voc simplesmente no diz para ele que no sabe?"

WATTERSON, Bill. *O melhor 
  de Calvin*. O Estado de 
  S. Paulo, 29 jan. 2002. 
  p. D-2.

<207>
Atividades

69. Responda: a funo dada 
  possui ponto de mximo ou de 
  mnimo?
 a) y=2x2-3x+4 
 b) y=3x2-2x 
 c) y=-5x2-x+2
 d) y=-x2+3x+1
 e) y=2x2
 f) y=-3+x-x2

_`[{para as atividades de 70 a 74, pea orientao ao professor_`]

70. Este  o grfico _`[no adaptado_`] da funo dada por y=x2-6x+5.
 a) No grfico voc pode perceber com nitidez os zeros da funo. Quais so?
 b) Voc tambm pode obter o valor extremo da funo. Qual  esse valor?  um valor mximo ou mnimo? Qual o valor de *x* correspondente ao valor extremo de *y*?

71. Este  o grfico _`[no adaptado_`] da funo dada por y=x2-5x+6. Observe que, nesse caso, voc no pode encontrar com exatido o valor mnimo da funo.
  Para obter *y* mnimo, voc pode usar o fato de que ele corresponde a um valor de *x* bem "no meio" dos zeros da funo, devido  simetria da parbola. Determine esse valor mnimo.
 72. No retngulo {a{b{c{d _`[no adaptado_`], ^c?{a{b* mede 
  13 cm, ^c?{b{c* mede 7 cm, e os segmentos ^c?{p{b*, ^c?{b{q*, ^c?{d{r* e ^c?{s{d* tm mesma medida: *x* cm.
  Encontre o valor de *x* para que a rea colorida seja mxima. Qual  essa rea mxima?

_`[{trs figuras no adaptadas_`]

  Resoluo:
  Primeiro, vamos calcular a rea assinalada em funo de *x*. Observe na figura _`[no adaptada_`] que dois tringulos opostos, juntos, formam um quadrado com lados de *x* cm; que os 
<P>
  outros dois tringulos, juntos, formam um retngulo com lados de 13-x cm e de 7-x cm.
  Ento, a rea *y* em azul 
  `(em cm2`) :
  y=7"13-x2-`(13-x`)`(7-x`)
  y=7"13-x2-7"13+13x+
  +7x-x2
  y=-2x2+20x.
  Faremos o grfico dessa funo, com 0x7.
  Primeiro, calculamos os zeros de y=-2x2+20x.
  Obtemos x=0 e x=10.
<208>
  O ponto de mximo ser, portanto: xV=?0+10*2=5; yV=-2(5)2+20(5)=50.
  Acompanhe o grfico _`[no adaptado_`]. Conforme *x* aumenta de 0 a 7, a rea *y* vai aumentando, isso at se chegar a x=5; depois, *y* vai diminuir.
  Portanto, quando x=5, a rea *y*  mxima. Essa rea mxima  de 50 cm2.
<P>
 73. O quadrado externo _`[no adaptado_`] tem lados de 4,2 cm. Em cantos opostos, temos dois quadrados com lados de *x* cm. Para que valor de *x* a rea colorida  mxima?

74. Nesta figura _`[no adaptada_`], o quadrado externo tem lados de 6 cm, e os quatro segmentos indicados medem 
  *x* cm.
 a) Calcule *x* para que a rea do quadrado colorido seja 
  mnima.
 b) Qual  essa rea mnima?

Pensando em casa

_`[{para as atividades de 75 a 80, pea orientao ao professor_`]

75. Considere o grfico _`[no adaptado_`] da funo dada por y=-x2+6x.
<P>
  Determine:
 a) os zeros da funo;
 b) o valor mximo de *y*;
 c) o valor de *x* que corresponde 
  a *y* mximo.

76. Este  o grfico _`[no adaptado_`] da funo dada por y=x2+4.
 a) Essa funo tem valor mximo ou mnimo? Qual ?
 b) Quais so os zeros da funo?
 c) Para x=1, qual o valor 
  de *y*?

<209>
77. Este  o grfico _`[no adaptado_`] da funo dada por y=-x2+3x.
  Examinando o grfico, voc no consegue determinar com exatido o valor mximo da funo. Determine, ento, esse valor por meio de clculos.
 78. Qual  a menor ordenada que pode ter um ponto do grfico de y=3x2-7x?
 79. Na figura _`[no adaptada_`], temos trs quadrados, um dentro do outro. O maior tem lados de 12 cm, e os quatro segmentos indicados medem *x* cm. Calcule *x* de modo que a rea colorida seja mxima.

80. Um quadrado tem lados de 
  4 cm. Nele, ser desenhado um tringulo, de acordo com a figura _`[no adaptada_`]. (As medidas esto em cm.)
 a) Calcule *x* para que a rea do tringulo colorido seja 
  mxima.
 b) Qual  essa rea mxima?

Desafios e surpresas

12. Um galinheiro  formado por duas partes retangulares, como mostra a figura _`[no adaptada_`]. Usando-se 15 metros de tela, qual  a rea mxima que esse galinheiro pode ter?
<P>
_`[{para as atividades de 13 a 15, pea orientao ao professor_`]

13. (Enem) A obsidiana  uma pedra de origem vulcnica que, em contato com a umidade do ar, fixa gua em sua superfcie formando uma camada hidratada. A espessura da camada hidratada aumenta de acordo com o tempo de permanncia no ar, propriedade que pode ser utilizada para medir sua idade. O grfico _`[no adaptado_`] mostra como varia a espessura da camada hidratada, em mcrons `(1 mcron=1 milsimo de milmetro`) em funo da idade da obsidiana.
  Com base no grfico _`[no adaptado_`], pode-se concluir que a espessura da camada hidratada de uma obsidiana:
 a)  diretamente proporcional a sua idade. 
 b) dobra a cada 10.000 anos. 
 c) aumenta mais rapidamente quando a pedra  mais jovem.
 d) aumenta mais rapidamente quando a pedra  mais velha.
 e) a partir de 100.000 anos no aumenta mais.

14. (Enem) Em uma prova de 100 m rasos, o desempenho tpico de um corredor padro  representado pelo grfico _`[no adaptado_`]. Em que intervalo de tempo a velocidade do corredor  aproximadamente constante?
 a) Entre 0 e 1 segundo.
 b) Entre 1 e 5 segundos.
 c) Entre 5 e 8 segundos.
 d) Entre 8 e 11 segundos.
 e) Entre 12 e 15 segundos.

15. (Enem) O nmero de indivduos de certa populao  representado pelo grfico _`[no adaptado_`].
  Em 1975, a populao tinha um tamanho aproximadamente igual 
  ao de:
 a) 1960
 b) 1963
 c) 1967
 d) 1970
 e) 1980
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quarta Parte